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<!DOCTYPE html>

<title>Typ-I-Von-Neumann-Algebra</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Typ-I-Von-Neumann-Algebra</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Typ-I-Von-Neumann-Algebren sind spezielle in der mathematischen Theorie der <a href="Von-Neumann-Algebra" title="Von-Neumann-Algebra">Von-Neumann-Algebren</a> betrachtete Algebren. Es handelt sich um den ersten von drei Typen der <a href="Typklassifikation_(Von-Neumann-Algebra)" title="Typklassifikation (Von-Neumann-Algebra)">Typklassifikation von Von-Neumann-Algebren</a>. Typ-I-Von-Neumann-Algebren nennt man auch diskret.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definitionen">Definitionen</h2></div>

Eine <a href="Projektion_(lineare_Algebra)" title="Projektion (lineare Algebra)">Projektion</a> in einer Von-Neumann-Algebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> ist <a href="Selbstadjungierter_Operator" title="Selbstadjungierter Operator">selbstadjungiertes</a> <a href="Idempotenz" title="Idempotenz">idempotentes</a> Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}" loading="lazy">, das heißt, es gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e=e^{*}=e^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e=e^{*}=e^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c93f119a65a342f48ecff09ae4a2b61e9c1cc21.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.556ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle e=e^{*}=e^{2}}" loading="lazy">. Eine solche Projektion heißt abelsch, falls die Algebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle eAe\subset A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle eAe\subset A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/30dda8ba62d6de4f9d2e59686daf146b14339c23.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.752ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle eAe\subset A}" loading="lazy"> kommutativ ist. Eine Von-Neumann-Algebra heißt vom Typ I (lies: Typ eins), falls sie eine abelsche Projektion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}" loading="lazy"> besitzt, so dass das Einselement die kleinste Projektion aus dem <a href="Zentrum_(Algebra)" title="Zentrum (Algebra)">Zentrum</a> der Algebra ist, deren Produkt mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}" loading="lazy"> gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}" loading="lazy"> ist.

Sie heißt genauer vom Typ In, wenn das Einselement Summe von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> paarweise orthogonalen, äquivalenten abelschen Projektionen ist. Dabei heißen zwei Projektionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e_{1},e_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e_{1},e_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27745534114fb1b24bed92a798254b53bcd0f63b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.309ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle e_{1},e_{2}}" loading="lazy"> orthogonal, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e_{1}e_{2}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e_{1}e_{2}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9848b65e72d43c0802bba2581791107589bff585.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.536ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle e_{1}e_{2}=0}" loading="lazy">, und sie heißen äquivalent, falls es ein Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v\in A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v\in A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e47413162b1047d7c55dcbef6c81881b64bae37f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.711ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle v\in A}" loading="lazy"> gibt mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e_{1}=v^{*}v,e_{2}=vv^{*}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e_{1}=v^{*}v,e_{2}=vv^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6691fd3a0b2425e06003636ae8fd4a5f500deb98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.125ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle e_{1}=v^{*}v,e_{2}=vv^{*}}" loading="lazy">. Die Summe ist bei unendlichem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> im Sinne der <a href="Starke_Operatortopologie" class="mw-redirect" title="Starke Operatortopologie">starken Operatortopologie</a> zu verstehen.<a href="#cite_note-1">[1]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

<ul><li><a href="Abelsche_Von-Neumann-Algebra" title="Abelsche Von-Neumann-Algebra">Abelsche Von-Neumann-Algebren</a> sind vom Typ I, denn in diesem Fall ist das Einselement selbst eine abelsche Projektion.</li>

<li>Die Algebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=L(H)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=L(H)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2d0e61ca8e8becfb5856cf6e3deb5682b183fa48.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.297ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A=L(H)}" loading="lazy"> der stetigen linearen Operatoren über einem <a href="Hilbertraum" title="Hilbertraum">Hilbertraum</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy"> ist vom Typ In, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> die Dimension des Hilbertraums ist. Ist nämlich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\xi _{i})_{i\in I}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\xi _{i})_{i\in I}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92eea64537155f2c1c58f3b6ab26ae74565fb46d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.352ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\xi _{i})_{i\in I}}" loading="lazy"> eine <a href="Orthogonalbasis" class="mw-redirect" title="Orthogonalbasis">Orthogonalbasis</a> und ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ebdc3a9cb1583d3204eff8918b558c293e0d2cf3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.883ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle e_{i}}" loading="lazy"> die Projektion auf den eindimensionalen Unterraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} \xi _{i}}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} \xi _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/820ace7541f7e37277d4550de2810a2d9d9fc5ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.496ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} \xi _{i}}" loading="lazy">, so sind die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ebdc3a9cb1583d3204eff8918b558c293e0d2cf3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.883ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle e_{i}}" loading="lazy"> abelsch, untereinander äquivalent und es ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \sum _{i=I}e_{i}=1}">

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \sum _{i=I}e_{i}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2cd82560fe5c097f9ffb16caf086337c4ffce951.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.892ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \sum _{i=I}e_{i}=1}" loading="lazy">.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

Wir betrachten hier nur Von-Neumann-Algebren auf einem separablen <a href="Hilbertraum" title="Hilbertraum">Hilbertraum</a>. Dann hat man für Typ-In-Algebren nur die Fälle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e05deda0232fefadb1f2f4f3bfb3a58bf3cf3293.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.55ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,\infty }" loading="lazy"> zu betrachten; anderenfalls müsste man für den unendlichen Fall noch nach Mächtigkeiten unterscheiden.

Jede Von-Neumann-Algebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> vom Typ I zerfällt in eine direkte Summe

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=Ap_{1}\oplus Ap_{2}\oplus Ap_{3}\oplus \ldots \oplus Ap_{\infty }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ad31470df14fae82e31db48747ac5878cb4a375.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:35.615ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A=Ap_{1}\oplus Ap_{2}\oplus Ap_{3}\oplus \ldots \oplus Ap_{\infty }}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei

<ul><li>jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f79dcba35ecde0d43fbb7c914165586166ce8c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.477ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{n}}" loading="lazy"> ist eine Projektion aus dem Zentrum von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> (möglicherweise 0)</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f79dcba35ecde0d43fbb7c914165586166ce8c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.477ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{n}}" loading="lazy"> sind paarweise orthogonal</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1=p_{\infty }+p_{1}+p_{2}+p_{3}+\ldots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a2915f354926e9dfa4d13395796b7eca2f8dd412.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:28.062ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1=p_{\infty }+p_{1}+p_{2}+p_{3}+\ldots }" loading="lazy"> im Sinne der starken Operatortopologie.</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Ap_{n}=p_{n}Ap_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fc5ae40de90106391caeed842eea50b0fdea08a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.748ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Ap_{n}=p_{n}Ap_{n}}" loading="lazy"> ist eine Von-Neumann-Algebra vom Typ In auf dem Hilbertraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{n}(H)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{n}(H)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1db711f6a34e499bd2dcaa9c25d755790334dfd5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:6.35ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p_{n}(H)}" loading="lazy">, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{n}\not =0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{n}\not =0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3c36da665ec5d6fee5035d9f123538a78edd883a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:6.738ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle p_{n}\not =0}" loading="lazy">.</li></ul>

Jede Von-Neumann-Algebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> vom Typ In ist isomorph zum <a href="Tensorprodukt_f%C3%BCr_Von-Neumann-Algebren" title="Tensorprodukt für Von-Neumann-Algebren">Tensorprodukt</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(H){\overline {\otimes }}\,\mathrm {cen} (A)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(H){\overline {\otimes }}\,\mathrm {cen} (A)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bedd15a45b572793724dd82af897cef5bc1d5e29.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.676ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle L(H){\overline {\otimes }}\,\mathrm {cen} (A)}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy"> ein n-dimensionaler Hilbertraum und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {cen} (A)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {cen} (A)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9f8487aee11e8c839f92caa8086b857f8b31f4eb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.91ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {cen} (A)}" loading="lazy"> das Zentrum von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> ist.<a href="#cite_note-2">[2]</a>

Da die Zentren abelsche Von-Neumann-Algebren sind und diese bekannt sind, ist damit die Struktur der Typ-I-Von-Neumann-Algebren aufgedeckt; es handelt sich um direkte Summen von Tensorprodukten von Algebren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(H)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(H)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ace334e31b512d9648671e17d4de006e0174ada4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.456ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L(H)}" loading="lazy"> mit abelschen Von-Neumann-Algebren. Daraus ergibt sich leicht, dass jede endlich-dimensionale Von-Neumann-Algebra vom Typ I ist und isomorph zu einer endlichen direkten Summe von Matrixalgebren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(\mathbb {C} ^{n})}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(\mathbb {C} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ec0db00741ae003c6e0b1691e05b3f1194ce1a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.289ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L(\mathbb {C} ^{n})}" loading="lazy"> ist.<a href="#cite_note-3">[3]</a>

Eine Von-Neumann-Algebra ist genau dann vom Typ I, wenn sie isomorph zu einer Von-Neumann-Algebra mit abelscher <a href="Kommutante" class="mw-redirect" title="Kommutante">Kommutante</a> ist.<a href="#cite_note-4">[4]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Typ-I-C*-Algebra" class="mw-redirect" title="Typ-I-C*-Algebra">Typ-I-C*-Algebra</a></li>

<li><a href="Typ-II-Von-Neumann-Algebra" title="Typ-II-Von-Neumann-Algebra">Typ-II-Von-Neumann-Algebra</a></li>

<li><a href="Typ-III-Von-Neumann-Algebra" title="Typ-III-Von-Neumann-Algebra">Typ-III-Von-Neumann-Algebra</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Kapitel 5.5: Von Neumann Algebras of Type I

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> <a href="Richard_Kadison" title="Richard Kadison">R.V. Kadison</a>, <a href="John_Ringrose" title="John Ringrose">J. R. Ringrose</a>: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 6.6.5

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 6.6.6

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Theorem 5.5.11

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>